Информация о задаче

Задача 86972

Тема:

[

Теорема о трех перпендикулярах

]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Основание пирамиды - ромб с острым углом в 30^o. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 60^o. Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного в ромб круга равен r.

Подсказка

Докажите, что высота пирамиды проходит через центр ромба.

Решение

Пусть H - высота пирамиды PABCD, основание которой - ромб ABCD с углом 30^o при вершине A, PM - перпендикуляр, опущенный на сторону BC. По теореме о трех перпендикулярах HM $\perp$ BC. Значит, PMH - линейный угол двугранного угла между боковой гранью BCP и плоскостью основания ABCD. Поэтому $\angle$ PMH = 60^o.

Опустив перпендикуляры из вершины P на остальные стороны ромба и рассмотрев полученные прямоугольные треугольники с общим катетом PH и противолежащим углом, равным 60^o, докажем, что точка H равноудалена от всех четырех прямых, содержащих стороны ромба ABCD. Поэтому H - центр окружности, вписанной в этот ромб, т.е. точка пересечения его диагоналей.

Опустим перпендикуляр BF из вершины ромба на сторону AD. Тогда BF = 2r. Из прямоугольного треугольника ABF находим, что AB = 2^.BF = 4r. Значит,

S(ABCD) = AD^.BF^.sin 30^o = AB^.BF^.sin 30^o = 8r².

Из прямоугольного треугольника PMH находим, что

PH = HM^.tg60^o = r $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Следовательно,

V(PABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ S(ABCD)^.PH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ 8r^{2 .}r $\displaystyle \sqrt{3}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{8}{3}}$ r³ $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Ответ

$\displaystyle {\textstyle\frac{8}{3}}$ r³ $\displaystyle \sqrt{3}$ ..

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7169