Задача 86962

Темы:    [ Куб ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В куб ABCDA1B1C1D1 со стороной 1 вписана сфера. Точка E расположена на ребре CC1 , причём C1E = . Из точки E проведена касательная к сфере, пересекающая грань куба AA1D1D в точке K , причём KEC = arccos . Найдите KE .

Решение

Обозначим KE = x . Пусть M – точка касания прямой EK со сферой, вписанной в данный куб (рис.1); T – точка пересечения плоскости, проходящей через точки C , C1 и K , с ребром A1D1 ; F – ортогональная проекция точки E на прямую KT ; P и R – центры граней CC1D1D и AA1D1D соответственно; N и L – середины рёбер CC1 и A1D1 . Поскольку сфера касается грани CC1D1D в точке P ,

EM = EP = = = = .
Тогда
KR = KM = KE - ME = x - .
Из прямоугольного треугольника KFE находим, что
KF = KE cos EKF = x cos KEC = ,

EF = KE sin EKF = .
Значит,
KT = KF + FT = + , TC1 = EF = .
Из прямоугольного треугольника TD1C1 находим, что
TD1 = = .
Рассмотрим квадрат AA1D1D (рис.2). Пусть G – проекция точки K на RL . В прямоугольном треугольнике KGR известно, что
KR = x - , KG = TL = TD1 - D1L = - ,

RG = |RL - GL| = |RL - KT| = | - ( + )| = | - |.
По теореме Пифагора KG2 + RG2 = KR2 , или
( - )2 + ( - )2 = (x - )2.
После очевидных упрощений получим уравнение
= 8x - 7 .
Возведём обе части этого уравнения в квадрат и приведём продобные. Получим квадратное уравнение
8x2 - 56x + 49 = 0.
Условию задачи удовлетворяет только один корень x = (второй больше , т.е. диагонали куба).

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7153