Задача 86920

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Свойства сечений ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В правильной треугольной пирамиде ABCP с вершиной P сторона основания равна 2. Через сторону основания BC проведено сечение, которое пересекает ребро PA в точке M , причём PM:MA = 1:3 , а площадь сечения равна 3. Найдите высоту пирамиды.

Решение

Пусть Q – центр основания данной правильной пирамиды, L – середина ребра BC , F – проекция точки M на плоскость основания. Отрезок AQ – ортогональная проекция отрезка AP на плоскость основания, поэтому точка F лежит на отрезке AQ , а т.к. MF || PQ (как перпендикуляры к одной и той же плоскости ABC ), то

= = .
Из равенства равнобедренных треугольников APB и APC следует равенство отрезков BM и CM . Медиана ML равнобедренного треугольника BMC является его высотой, поэтому BC· ML = 3 , откуда
ML = = = 3.
Далее находим:
AL = BC· = , LQ = AL = , AQ = AL = ,

QF = AQ = , FL = LQ + QF = + = ,

MF = = = .
Из подобия треугольников APQ и AMF следует, что
PQ = MF· = MF = · = 2.

Ответ

2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7096