Задача 86915

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды ABCDP ( P – вершина) равна 4 , а угол между соседними боковыми гранями равен 120^o . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ BD основания параллельно боковому ребру CP .

Решение

Заметим, что по теореме о трёх перпендикулярах PC BD . Пусть F – проекция вершины B на боковое ребро PC . Поскольку прямая PC перпендикулярна двум пересекающимся прямым ( BF и BD ), эта прямая перпендикулярна плоскости BDF , следовательно, BFD = 120^o . Пусть прямая, проходящая через центр M квадрата ABCD параллельно боковому ребру CP , пересекает боковое ребро AP в точке K . Тогда плоскость DBK параллельна CP , поскольку она содержит прямую MK , параллельную CP . Значит, треугольник BDK – искомое сечение. При этом MK – средняя линия треугольника ACP . Из прямоугольного треугольника BMF находим, что

MF = MB ctg BFM = · ctg 60^o = .
Тогда
sin MCF = = = , cos MCF = .
Из прямоугольного треугольника PMC находим, что
CP = = = 2.
Следовательно,
S_{Δ BDK} = BD· MK = BD· CP = · 8· 2 = 4.

Ответ

4 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7091