Задача 86896

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Векторы (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания и высота правильной четырёхугольной пирамиды равны a . Найдите радиус вписанного шара.

Решение

Рассмотрим сечения правильной четырёхугольной пирамиды ABCDP ( P – вершина) плоскостью, проходящей через вершину P и середины K и L сторон AB и CD основания ABCD . В этой плоскости расположен центр вписанного шара (на высоте PM пирамиды), поэтому в сечении мы получим равнобедренный треугольник PKL и вписанную в него окружность с центром O – центром сферы, вписанной в пирамиду. Таким образом, исходная задача сводится к нахождению радиуса r окружности, вписанной в равнобедренный треугольник PKL с основанием KL = a и высотой PM = a . Рассмотрим несколько способов решения этой задачи.

Из прямоугольного треугольника PKM находим, что

tg β = tg PKM = = 2.
Поскольку KO – биссектриса угла PKM , из прямоугольного треугольника OKM находим, что
r = OM = MK tg OKM = · tg .
Осталось найти tg , если известно, что tg β = 2 . Для этого воспользуемся формулой
tg β = .
Обозначим tg = t и решим уравнение 2 = . Поскольку угол OKM острый, нас устраивает только положительный корень этого уравнения: t = . Следовательно,
r = · tg = .


Из прямоугольного треугольника PKM по теореме Пифагора находим, что
PK = = = .
По свойству биссектрисы треугольника
= , или = ,
откуда находим, что
r = = .


Пусть Q – точка касания рассматриваемой окружности со стороной PK . Тогда
KQ = MK = , PQ = PK - KQ = - = .
Прямоугольные треугольники PQO и PMK подобны, поэтому = , или = 2 , откуда находим, что r = .

Пусть p – полупериметр треугольника PKL , S – его площадь. Тогда
r = = = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7072