ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86895
Темы:    [ Векторное произведение ]
[ Линейные зависимости векторов ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , боковое ребро образует с плоскостью основания угол α . Найдите радиус описанного шара.

Решение



Рассмотрим сечение правильной треугольной пирамиды ABCP ( P – вершина пирамиды) плоскостью, проходящей через точки P , A и M (центр основания ABC ). В этой плоскости расположен центр описанной сферы, поэтому секущая плоскость пересекает сферу по окружности, радиус которой равен радиусу R описанной сферы. Продолжим отрезок AM за точку M до пересечения с этой окружностью в точке A1 . Тогда равнобедренный треугольник APA1 вписан в окружность радиуса R . Из прямоугольного треугольника PMA находим, что

AP = = ,

а т.к. PA1 = PA , по известной формуле для радиуса описанной окружности (теорема синусов) находим, что
R = = = = .



Рассмотрим сечение правильной треугольной пирамиды ABCP ( P – вершина пирамиды) плоскостью, проходящей через точки P , A и M (центр основания ABC ). В этой плоскости расположен центр описанной сферы, поэтому секущая плоскость пересекает сферу по окружности, радиус которой равен радиусу R описанной сферы. Продолжим отрезок PM за точку M до пересечения с этой окружностью в точке Q . Поскольку PQ – диаметр окружности, PAQ = 90o , а AM – высота прямоугольного треугольника PAQ , проведённая из вершины прямого угла. Значит, MA2 = PM· MQ , или
()2 = tg α (2R- tg α),

Откуда находим, что
R = = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7071

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .