Условие
Докажите, что через данную точку можно провести единственную
плоскость, перпендикулярную данной прямой.
Решение
Пусть данная точка
M не лежит на данной прямой
h . Проведём
через них плоскость
α (рис.1). Пусть прямая плоскости
α , проходящая
через точку
M перпендикулярно прямой
h , пересекает прямую
h в точке
A . Через произвольную точку, не лежащую в плоскости
α , и прямую
h
проведём плоскость
β . В плоскости
β проведём прямую
AN ,
перпендикулярную прямой
h . Через пересекающиеся прямые
AM и
AN
проведём плоскость
γ . Поскольку прямая
h перпендикулярна двум
пересекающимся прямым
AM и
AN плоскости
γ , прямая
h перпендикулярна
плоскости
γ .
Докажем единственность. Предположим, что существует плоскость
γ 1
, проходящая через точку
M перпендикулярно прямой
h и отличная
от плоскости
γ . Поскольку плоскости
γ и
γ 1
имеют
общую точку
M , они пересекаются по прямой
l , проходящей через эту точку.
Если прямая
l не пересекается с прямой
h (рис.2), то плоскости
γ и
γ 1
пересекают прямую
h в двух различных точках
B и
C .
Тогда в плоскости пересекающихся прямых
MB и
MC из точки
M опущены два
перпендикуляра
MB и
MC на прямую
h . Что невозможно.
Если прямая
l пересекает прямую
h в точке
D (рис.3), то через прямую
h
и произвольную точку
K , не лежащую на прямых
l и
h , проведём
плоскость
ϕ . Эта плоскость пересекает плоскости
γ и
γ 1
по различным прямым, пересекающимся в точке
D , а т.к. прямая
h перпендикулярна
плоскостям
γ и
γ 1
, то она перпендикулярна обеим этим прямым.
Таким образом, в плоскости
ϕ через точку
D проходят две различные прямые,
перпендикулярные прямой
h . Что также невозможно.
Пусть теперь точка
M лежит на прямой
h . В произвольной
плоскости, проходящей через прямую
h , проведём перпендикуляр
MM1
к
прямой
h . Затем через точку
M1
, не лежащую на прямой
h , указанным
выше способом проведём плоскость, перпендикулярную прямой
h . Далее
все аналогично рассмотренному случаю.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7003 |
