Информация о задаче

Задача 86503

Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 2+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

К окружности с диаметром АС проведена касательная ВС. Отрезок АВ пересекает окружность в точке D. Через точку D проведена еще одна касательная к окружности, пересекающая отрезок ВС в точке K. В каком отношении точка K разделила отрезок ВС?

Решение

Так как $\angle$ ADC — вписанный и опирается на диаметр окружности, то $\angle$ ADC = 90^o, значит, $\triangle$ BDC — прямоугольный. KD = KC, так как они являются отрезками касательных к окружности, проведенными из одной точки (см. рис.). $\angle$ DCK = $\angle$ CDK = $\alpha$ , тогда, $\angle$ DВC = 90⁰ - $\angle$ DCK = 90⁰ - $\alpha$ ; $\angle$ KDВ = 90⁰ - $\angle$ CDK = 90⁰ - $\alpha$ , следовательно, KD = KB. Таким образом, KС = KB, то есть, K — середина ВС.

Равенство углов DВC и KDВ можно также доказать, используя равенство других углов: $\angle$ DАC = $\angle$ KDС ( $\angle$ DАC —вписанный, опирающийся на дугу DС, а $\angle$ KDС — между касательной и хордой, стягивающей эту же дугу).

Ответ

1 : 1.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2000/01
класс
Класс	8
задача
Номер	3.2