Задача 79642

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Пусть S(x) – сумма цифр натурального числа x. Решите уравнение  x + S(x) = 2001.

Решение

  Если  x > 1999,  то  x + S(x) ≥ 2002,  если же  x < 1000, то  x + S(x) < 1000 + 3·9 = 1027.  Следовательно, x – четырёхзначное число с первой цифрой 1.
  Пусть a – цифра сотен, b – цифра десятков и c – цифра единиц, тогда  (1000 + 100a + 10b + c) + 1 = 2001,  или  101a + 11b + 2c = 1000.  При  a < 9  последняя сумма меньше  101·8 + 11·9 + 2·9 < 1000.  Итак,  a = 9.
 Аналогично перебором получим, что  x = 1977.

Источники и прецеденты использования

кружок
Место проведения	МЦНМО
класс
Класс	7
год
Год	2004/2005
занятие
Номер	7
Название	Задачи с числами
задача
Номер	7.1