Задача 79635

Темы:    [ Тождественные преобразования ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти целых чисел.
Например,  52 = 4³ + (−3)³ + 2³ + 2³ + (−1)³.

Подсказка

Докажите, что каждое число, кратное 6, можно представить в таком виде.

Решение

(n + 1)³ + (n – 1)³ – 2n³ = 6n.  Итак, любое число, кратное 6, представляется в виде суммы четырёх кубов. Добавив 0, получим сумму пяти кубов. Добавляя ± 1, ± 8, 27, представим в виде суммы пяти кубов соответственно все числа, дающие при делении на 6 остатки  ± 1, ± 2, 3.

Источники и прецеденты использования

Фольклор