ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79603
Темы:    [ Задачи на проценты и отношения ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Совет из 2000 депутатов решил утвердить государственный бюджет, содержащий 200 статей расходов. Каждый депутат подготовил свой проект бюджета, в котором указал по каждой статье максимально допустимую, по его мнению, величину расходов, проследив за тем, чтобы общая сумма расходов не превысила заданную величину S. По каждой статье совет утверждает наибольшую величину расходов, которую согласны выделить не менее k депутатов. При каком наименьшем k можно гарантировать, что общая сумма утверждённых расходов не превысит S?


Решение

  Если  k ≤ 1990,  может случиться, что первые 10 депутатов предложат ничего не выделять по первой статье расходов, а по остальным выделить по S/199. Следующие 10 депутатов ничего не выделят по второй статье и выделят по S/199 по остальным и так далее. В результате по каждой статье будет утверждена сумма расходов в S/199, а по всем двумстам статьям  200/199 S > S.
  Если  k = 1991,  то после утверждения расходов по всем статьям окажется, что по каждой статье не более девяти депутатов предложили величину расходов, меньшую утверждённой. Поскольку  200·9 < 2000,  найдётся депутат, который по всем статьям предложил величину расходов, не меньшую утверждённой. Но сумма предложенных им расходов не больше S, а значит, и утверждённая сумма тоже.


Ответ

k = 1991.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1991
выпуск
Номер 7
Задача
Номер М1292
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 54
Год 1991
вариант
Класс 11
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .