Условие
Дан график функции $у=\frac{1}{x}$ при $x > 0$, а оси координат стёрты.
Как с помощью циркуля и линейки восстановить стёртые оси, если даже их
направления заранее не известны?
Подсказка
Докажите и используйте тот факт, что прямая, проходящая через середины двух параллельных хорд данной гиперболы, проходит также и через начало координат.
Решение
Покажем, что середины любых хорд к гиперболе $y = \frac1x$, $x > 0,$ параллельных фиксированной прямой $y=-ax$, лежат на прямой $y=ax$. Действительно, если хорда лежит на прямой $y=-ax+b$ (см. рисунок), то абсциссы $x_1$ и $x_2$ её концов удовлетворяют уравнению $-ax+b=\frac1x$, или $ax^2-bx+1=0,$
а середина хорды имеет координаты
$$x_0 = \frac{x_1+x_2}2, \quad y_0 = \frac{1/x_1 + 1/x_2}2 = \frac{x_1+x_2}{2x_1x_2} = ax_0,$$
так как по теореме Виета $x_1x_2=\frac1a$.
Таким образом, если провести прямую через середины пары параллельных
хорд (построение с помощью циркуля и линейки прямой, параллельной данной, а также середины заданного отрезка производится стандартным образом.), то она пройдёт через начало координат, причём её угловой коэффициент будет таким же по модулю, но противоположным по знаку по отношению к угловому коэффициенту пары хорд. Биссектрисы углов между этой прямой и любой из этих хорд параллельны осям координат.
Если выбрать какую-нибудь другую пару параллельных хорд (не параллельных первой паре) и также провести прямую через их середины, то в пересечении с первой прямой получим начало координат. Проводя через него прямые, параллельные биссектрисам углов в пересечении этой прямой с парой хорд, получим координатные оси. Поскольку изначально была дана ветвь гиперболы $y=\frac1x$ при $x > 0$,
оси должны быть направлены в стороны сближения с гиперболой.
Ответ
Проведём прямую через середины двух параллельных хорд, тогда биссектрисы углов между прямой и хордами параллельны осям координат; проведём ещё одну прямую через середины двух других параллельных хорд, тогда она пересечёт первую прямую в начале координат.
Замечания
Известна также
задача о восстановлении с помощью циркуля и линейки осей координат для стандартной параболы $y=x^2$, предлагавшаяся в 1982 г. на Всесоюзной математической олимпиаде, а также в 1996 г. на Турнире городов.
Источники и прецеденты использования
