Задача 79560

Темы:    [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?

Решение

Например, подходит функция  f(x) = x³.  Действительно, с вертикальной прямой  x = a  её график пересекается в точке  (a, a³).  Пусть теперь прямая задана уравнением  y = kx + b.  Уравнение  x³ − kx − b = 0  имеет действительный корень. Следовательно, график функции  f пересекается с прямой
y = kx + b.

Ответ

Существует.

Замечания

См. также задачу 35728.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	52
Год	1989
вариант
Класс	10
задача
Номер	2