ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79554
Темы:    [ Признаки перпендикулярности ]
[ Раскраски ]
[ Параллельность прямых и плоскостей ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В пространстве имеются четыре различные прямые, окрашенные в два цвета: две красные и две синие, причём любая красная прямая перпендикулярна любой синей прямой. Докажите, что либо красные, либо синие прямые параллельны.

Решение

Фиксируем в пространстве точку O и проведём прямые OA и OB, параллельные красным прямым и прямые OC и OD, параллельные синим прямым. Если красные прямые не параллельны, то прямые OA и OB различны. Так как прямая OC перпендикулярна прямым OA и OB, то она перпендикулярна плоскости OAB. Аналогично получаем, что прямая OD перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, в силу единственности перпендикуляра к плоскости, прямые OC и OD совпадают, а значит, синие прямые параллельны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 52
Год 1989
вариант
Класс 9
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .