Задача 79553

Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Неравенства с модулями ] [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Все значения квадратного трёхчлена  ax² + bx + c  на отрезке  [0, 1]  по модулю не превосходят 1.
Какое наибольшее значение при этом может иметь величина  |a| + |b| + |c|?

Решение

  Пусть  f(x) = ax² + bx + c.  По условию  | f(0)| ≤ 1,  | f(¹/₂)| ≤ 1,  | f(1)| ≤ 1,  то есть |c| ≤ 1,  |a + 2b + 4c| ≤ 4,  |a + b + c| ≤ 1.  Отсюда
     |a| = |2(a + b + c) − (a + 2b + 4c) + 2c| ≤ 2|a + b + c| + |a + 2b + 4c| + 2|c| ≤ 8,
     |b| = |(a + 2b + 4c) − 3c − (a + b + c)| ≤ |a + 2b + 4c| + 3|c| + |a + b + c| ≤ 8.
  Следовательно,  |a| + |b| + |c| ≤ 8 + 8 + 1 = 17.
  Осталось заметить, что квадратный трёхчлен  8x² − 8x + 1  удовлетворяет условию задачи и для него величина  |a| + |b| + |c|  равна 17.

Ответ

17.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	52
Год	1989
вариант
Класс	8
задача
Номер	6