|
|
 |
Условие
а) Доказать, что из трёх положительных чисел всегда можно выбрать такие два
числа x и y, что 0 ≤ ≤ 1.
б) Верно ли, что указанные два числа можно выбрать из любых четырёх чисел?
Решение
а) Данные числа можно представить в виде tg α, tg β и tg γ, где 0 < α, β, γ < π/2. Среди чисел α, β и γ можно выбрать два числа, разность которых неотрицательна и меньше π/4. Пусть для определённости 0 ≤ α − β < π/4. Тогда
б) Пусть α, β, γ, δ – арктангенсы данных чисел, расположенные по возрастанию; тогда − π/2 < α ≤ β ≤ γ ≤ δ < π/2 < α + π.
Точки β, γ, δ разбивают отрезок [α, α + π] на четыре отрезка. Длина хотя бы одного из них не превосходит π/4; в качестве x и y можно взять тангенсы его правого и левого концов (см. а). В случае (α + π) − δ ≤ π/2 надо ещё воспользоваться равенством tg(α + π − δ) = tg(α − δ).
Ответ
б) Верно.
Замечания
В Задачнике Кванта задача присутствовала в следующей формулировке.
Из любых четырёх чисел всегда можно выбрать два таких числа x и y, что отношение числа x – y к числу 1 + xy принадлежит отрезку [0, 1].
