Задача 79484

Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Неравенства с объемами ]

Сложность: 4 Классы: 11

Условие

Доказать, что если расстояния между скрещивающимися рёбрами тетраэдра равны h₁, h₂, h₃, то объём тетраэдра не меньше, чем h₁h₂h₃/3.

Решение

Рассмотрим параллелепипед, образованный плоскостями, проходящими через рёбра тетраэдра параллельно противоположным рёбрам. Объём тетраэдра составляет 1/3 объёма этого параллелепипеда (см. решение задачи 76442), а расстояния между параллельными гранями параллелепипеда равны h₁, h₂ и h₃. Поэтому остаётся проверить, что объём такого параллелепипеда не меньше h₁h₂h₃. Рассмотрим грань параллелепипеда, на которую опущена высота h₃. Эта грань является параллелограммом. Одна из сторон этого параллелограмма не меньше h₂, а высота, опущенная на эту сторону, не меньше h₁. Поэтому площадь этой грани не меньше h₁h₂, а объём параллелепипеда не меньше h₁h₂h₃.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	48
Год	1985
вариант
Класс	10
задача
Номер	5