ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79480
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать, что любое число 2n, где  n = 3, 4, 5, ...  можно представить в виде  7x² + y²,  где x и y – нечётные числа.


Решение

  Докажем это по индукции. База  (n = 3).  2³ =7·1² + 1².
  Шаг индукции. Пусть  2n = 7x² + y²,  х и у нечётны. Рассмотрим две пары чисел:  (½ (x – y), ½ (7x + y))  и  (½ (х + у), ½ (7x − у)).  Для каждой пары усемерённый квадрат первого числа плюс квадрат второго даёт 2n+1. Остаётся заметить, что в каждой паре стоят числа одной чётности, а в разных – разной чётности, поэтому числа одной из пар нечётны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 48
Год 1985
вариант
Класс 9
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .