Задача 79470

Темы:    [ Теория игр (прочее) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В центре квадрата сидит заяц, а в каждом из четырёх углов по одному волку. Может ли заяц выбежать из квадрата, если волки могут бегать только по сторонам квадрата с максимальной скоростью в 1,4 раза большей, чем максимальная скорость зайца?

Решение

Ответ: может.
Для этого заяц должен придерживаться такой стратегии. Сначала он выбирает произвольную вершину A квадрата и бежит к ней по диагонали с максимальной скоростью до тех пор, пока не окажется от A на расстоянии, меньшем ( − 1,4) (например, на расстоянии 0,005; сторону квадрата полагаем равной 1). Затем он, не меняя скорости, сворачивает на 90^o и движется перпендикулярно диагонали к той стороне квадрата, на которой находится только один волк (если в рассматриваемый момент в A находится волк, то заяц сворачивает на 90^o в произвольную сторону; Нетрудно видеть, что в момент, когда заяц пересечёт сторону квадрата, ни один волк не сможет оказаться в той же точке этой стороны.
Замечание. Если скорость волка в раз больше скорости зайца, то волки уже ловят зайца: они в каждый момент оказываются в концах "креста" с центром "заяц", отрезки которого параллельны диагоналям квадрата.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	48
Год	1985
вариант
Класс	7
задача
Номер	4