Задача 79451

Темы:    [ Многоугольники (экстремальные свойства) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Условие

Докажите, что сумма расстояний от центра правильного семиугольника до всех его вершин меньше, чем сумма расстояний до них от любой другой точки.

Решение

Пусть A_i — вершины данного 7-угольника, O — его центр, B₁ — произвольная точка, отличная от O. Повернём вектор на углы , 2 · , ..., 6 · , получим 7 точек B₁, B₂, ..., B₇ в вершинах правильного 7-угольника. Легко видеть, что сумма длин векторов , ...,  равна сумме Σ длин векторов , ..., . Но ( + ... + ) = , откуда по неравенству треугольника 7 ·  ≤ || + ... + || = Σ.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	47
Год	1984
вариант
Класс	8
задача
Номер	3