Задача 79424

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны ] [ Шестиугольники ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Внутри правильного шестиугольника находится другой правильный шестиугольник с вдвое меньшей стороной.
Доказать, что центр большого шестиугольника лежит внутри малого шестиугольника.

Решение

Предположим, что центр O большого шестиугольника M₂ лежит вне малого шестиугольника M₁. Тогда существует такая сторона AB шестиугольника M₁, что M₁ и точка O лежат по разные стороны от прямой AB. Пусть DE – сторона шестиугольника M₁, параллельная AB. Расстояние между прямыми AB и DE равно радиусу вписанной окружности S шестиугольника M, поэтому прямая DE лежит вне окружности S. С другой стороны, отрезок DE лежит внутри шестиугольника M₂. Следовательно, согласно задаче 57477 длина отрезка DE меньше половины длины стороны шестиугольника M₂. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	45
Год	1982
вариант
Класс	10
задача
Номер	5