Задача 79380

Темы:    [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Средние величины ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Доказать, что если  a₁ ≤ a₂ ≤ a₃ ≤ ... ≤ a₁₀,  то   ¹/₆ (a₁ + ... + a₆) ≤ ¹/₁₀ (a₁ + ... + a₁₀).

Решение

Ясно, что  a₁ + ... + a₆ ≤ 6a₆  и  a₇ + ... + a₁₀ ≥ 4a₆.  Поэтому  4(a₁ + ... + a₆) ≤ 6(a₇ + ... + a₁₀),  то есть  10(a₁ + ... + a₆) ≤ 6(a₁ + ... + a₁₀).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	43
Год	1980
вариант
Класс	8
задача
Номер	1