ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79336
Темы:    [ Выпуклые многоугольники ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В каждой вершине выпуклого k-угольника находится охотник, вооруженный лазерным ружьем. Все охотники одновременно выстрелили в зайца, сидящего в точке O внутри этого k-угольника. В момент выстрела заяц пригибается, и все охотники погибают. Доказать, что нет другой точки, кроме O, обладающей указанным свойством.

Решение

По условию вершины k-угольника разбиты на пары {Ai, Aj} так, что точка O принадлежит каждому из отрезков AiAj. Более того, для любой другой пары {Ap, Aq} точки Ap и Aq лежат по разные стороны от прямой ApAq. Из этого следует, что по обе стороны от прямой AiAj лежит по $ {\frac{k-2}{2}}$ точек (в частности, k чётно). Таким образом, O — точка пересечения "больших" диагоналей k-угольника, т.е. диагоналей AiAi + $\scriptstyle {\frac{k}{2}}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 40
Год 1977
вариант
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 1
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 40
Год 1977
вариант
Класс 7
Тур 2
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .