ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79304
Темы:    [ Рекуррентные соотношения ]
[ Обратный ход ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В последовательности 19752... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности:
  а) набор цифр 1234; 3269;   б) вторично набор 1975;   в) набор 8197?


Решение

  а) Достаточно заметить, что в последовательности 1975... после каждой чётной цифры идут подряд четыре нечётные цифры, а потом снова чётная. Поэтому четвёрка 1234 в этой последовательности встретиться не может. Четвёрка 3269 тоже встретиться не может.
  б) В силу конечности числа наборов из четырёх цифр наша последовательность периодическая. По четырём рядом стоящим цифрам abcd однозначно определяется предшествующуя им цифра: это единственная цифра, сравнимая по модулю 10 с  d – a – b – c.  Поэтому предпериод отсутствует. В частности, четвёрка 1975 встретится вторично.
  в) Как было показано выше, перед четвёркой цифр 1975, встречающейся в нашей последовательности во второй раз, будет стоять цифра 8. Тем самым, образуется четвёрка 8197.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1975
выпуск
Номер 9
Задача
Номер М345
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 38
Год 1975
вариант
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .