Задача 79254
|
|
 |
Условие
На бумагу поставили кляксу. Для каждой точки кляксы определили наименьшее и наибольшее расстояние до границы кляксы. Среди всех наименьших расстояний выбрали наибольшее, а среди наибольших выбрали наименьшее и сравнили полученные два числа. Какую форму имеет клякса, если эти два числа равны между собой?Решение
Пусть A — точка кляксы, наименьшее расстояние от которой до границы кляксы равно r0 — наибольшему из наименьших расстояний. Тогда круг радиуса r0 с центром в точке A содержится внутри кляксы (если бы этот круг не содержался полностью внутри кляксы, то какая-то точка границы кляксы оказалась бы внутри круга, и расстояние до неё от точки A было бы меньше r0, что противоречит выбору r0). Аналогично, если В — точка кляксы, наибольшее расстояние от которой до границы кляксы равно R0 — наименьшему из наибольших, то вся клякса содержится в круге радиуса R0 с центром в точке В. Итак, первый построенный круг содержится в кляксе, а клякса в свою очередь содержится во втором круге. Но по условию
r0 = R0 = ρ.
откуда следует, что круги совпадают; значит, совпадают и точки A
и В, а клякса имеет форму круга с центром в точке A(= B) радиуса
ρ. 