Задача 79239
|
|
 |
Условие
Рассматриваются решения уравнения 1/x + 1/y = 1/p (p > 1), где x, y и p – натуральные числа. Докажите, что если p – простое число, то уравнение имеет ровно три решения; если p – составное, то решений больше трёх ((a, b) и (b, a) – различные решения, если a ≠ b).
Решение
Запишем уравнение в виде px + py = xy, или (х – р)(у – р) = р². При простом р отсюда следует, что x – р = 1, у – р = р², или х – р = р, у – р = р, или
х – р = р², у – р = 1. Если же р составное, то р² раскладывается на множители и другими способами.
