Задача 78830

Темы:    [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

На плоскости проведено 300 прямых, причём никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. По этим прямым плоскость разрезана на куски. Доказать, что среди кусков найдётся не менее 100 треугольников.

Решение

Возьмём одну из данных прямых и рассмотрим все точки пересечения данных прямых, не лежащие на выбранной прямой, и выберем среди них ближайшую. Среди кусков, на которые разрезана плоскость, есть треугольник, одна вершина которого — выбранная точка, а две другие лежат на выбранной прямой. Действительно, треугольник, образованный выбранной прямой и двумя прямыми, проходящими через выбранную точку, не могут пересекать другие прямые. Мы сопоставили каждой прямой треугольник, причём один и тот же треугольник не может соответствовать более чем трём разным прямым. Поэтому количество треугольников не меньше 300/3 = 100.

Примечание Problems.Ru: На самом деле, среди кусков разбиения найдется не менее 298 трегольников (см. статью "Треугольники и катастрофы" Канель, Ковальджи, "Квант" 11, 1992г.)

Замечания

Примечание Problems.Ru: На самом деле, среди кусков разбиения найдется не менее 298 трегольников.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	35
Год	1972
вариант
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	5