Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно b , а плоский угол при вершине равен α . Найдите длину кратчайшего замкнутого пути по поверхности пирамиды, начинающегося и заканчивающегося в вершине основания и пересекающего все боковые рёбра пирамиды.
РешениеНайдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного правильного тетраэдра между серединами его противоположных рёбер.
РешениеНайдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба между его противоположными вершинами.
РешениеНайдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба между серединой его ребра и наиболее удалённой от неё точки поверхности куба.
Решение
|
|
 |
Условие
В городе Никитовка двустороннее движение. В течение двух лет в городе проходил ремонт всех дорог. Вследствие этого в первый год на некоторых дорогах было введено одностороннее движение. На следующий год на этих дорогах было восстановлено двустороннее движение, а на остальных дорогах введено одностороннее движение. Известно, что в каждый момент ремонта можно было проехать из любой точки города в любую другую. Доказать, что в Никитовке можно ввести одностороннее движение так, что из каждой точки города удастся проехать в любую другую точку.
Решение
Индукция по числу городских перекрёстков (из которых исходят более двух дорог).
База. Если в Никитовке имеются всего два перекрёстка A и B, то утверждение очевидно: по условию из A в B ведут не менее двух дорог; поэтому достаточно установить по одной из этих дорог движение от A к B, а по второй – от B к A, мы сможем проехать от каждого перекрёстка до любого, отличного от него.
Шаг индукции. Рассмотрим город Никитовку, имеющий n + 1 перекрёсток и два соседних из этих перекрёстков – перекрёстки A и B, соединённые улицей AB. Поскольку после введения на улице AB (при её ремонте) одностороннего движения – скажем, от A к B – проехать от B к A было возможно, то из B в A ведёт некоторая не включающая улицы AB "цепочка" улиц (эту "цепочку" можно считать не имеющей самопересечений). Таким образом, мы приходим к существованию в Никитовке "кольца" s – замкнутой сети улиц, ведущей из A в B, а затем (через ряд "промежуточных" перекрёстков) – снова в A.
Рассмотрим теперь новый город, план которого получается из плана Никитовки "склеиванием" всех перекрёстков нашего кольца s в один перекрёсток S, из которого исходят все улицы, реально "упирающиеся" в кольцо s. Число перекрёстков такого условного города меньше n + 1; поэтому по предположению индукции в нём можно ввести по всем улицам одностороннее движение с соблюдением требований задачи. Если мы затем оставим движение по всем не входящим в кольцо s улицам таким же, каким оно было в этом новом городе, а по кольцу s пустим движение в одном (безразлично каком!) направлении, то на всех улицах Никитовки будет установлено одностороннее движение – и притом с каждого перекрёстка можно будет проехать в любой другой.
