Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно b , а плоский угол при вершине равен α . Найдите длину кратчайшего замкнутого пути по поверхности пирамиды, начинающегося и заканчивающегося в вершине основания и пересекающего все боковые рёбра пирамиды.
РешениеНайдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного правильного тетраэдра между серединами его противоположных рёбер.
РешениеНайдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба между его противоположными вершинами.
РешениеНайдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба между серединой его ребра и наиболее удалённой от неё точки поверхности куба.
Решение
|
|
 |
Условие
В стране Мара расположено несколько замков. Из каждого замка ведут три дороги. Из какого-то замка выехал рыцарь. Странствуя по дорогам, он из каждого замка, стоящего на его пути, поворачивает либо направо, либо налево по отношению к дороге, по которой приехал. Рыцарь никогда не сворачивает в ту сторону, в которую он свернул перед этим. Доказать, что когда-нибудь он вернётся в исходный замок.
Решение
Все замки страны Мара связаны каким-то конечным числом дорог. Если рыцарь странствует по стране достаточно долго, то он проедет достаточно много дорог, поэтому хотя бы по одной дороге AB (A и B – замки) он проедет не менее пяти раз. При этом не менее трёх раз он проедет по этой дороге в одном и том же направлении (скажем, от A к B); поэтому, если из замка B, кроме BA, ведут еще две дороги BC и BD то рыцарь минимум дважды, – скажем, после i-го и после j-го посещения замка B, где j > i, – сворачивал, выезжая из B (куда он оба раза приезжал из A) в одну и ту же сторону, скажем, в сторону замка C. Но из условия тогда следует, что не только в i-е и в j-е посещение B рыцарь приехал в B из одного замка – из A, – но и в A он оба раза приезжал из одного и того же замка P (ведь если рыцарь после B свернул на дорогу BC, например, налево, то в A он должен был свернуть направо после посещения P). Аналогично этому устанавливается, что полностью совпадают пути рыцаря, предшествующие двум рассматриваемым посещениям замка B: в замок P он оба раза попал из одного и того же замка, и т. д. Но тогда, если рыцарь до i-го посещения B миновал, начиная с выезда из своего замка X, какое-то число k замков, то и за k замков до j-го посещения B он снова был в X, что и доказывает утверждение задачи.
