Задача 78742
|
|
 |
Условие
У числа 21970 зачеркнули его первую цифру и прибавили её к оставшемуся числу. С результатом проделали ту же операцию и т.д., до тех пор пока не получили десятизначное число. Доказать, что в этом числе есть две одинаковые цифры.
Решение
Поскольку при каждой операции из числа вычитается число вида a(10k – 1), остаток при делении на 9 не меняется. Следовательно, получившееся десятизначное число не делится на 9. С другой стороны, если все его цифры различны, то их сумма равна 0 + 1 + ... + 9 = 45, то есть делится на 9. Таким образом, среди его цифр есть две одинаковые.
