|
|
 |
Условие
На каждую чашку весов положили k гирь, занумерованных числами от 1 до k, причём левая чашка перевесила. Оказалось, что если поменять чашками любые две гири с одинаковыми номерами, то всегда либо правая чашка начинает перевешивать, либо чашки приходят в равновесие. При каких k это возможно?
Решение
Оценка. Пусть ai – масса i-й гири на левой чашке, bi – на правой,
ci = ai – bi. Тогда условие задачи примет вид: S = c1 + ... + ck > 0, S – 2ci ≤ 0 для каждого i. Складывая неравенства S – 2c1 ≤ 0 и S – 2c2 ≤ 0, получаем c1 + c2 ≥ S. С другой стороны, все числа ci положительны (так как они больше положительного числа S/2). Следовательно, всего чисел ci не больше двух, то есть k ≤ 2.
Примеры. При k = 1 возьмём a1 = 2, b1 = 1, а при k = 2 возьмём a1 = a2 = 2, b1 = b2 = 1.
Ответ
При k = 1, 2.
