Задача 78663

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Тождественные преобразования ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что если p и q – два простых числа, причём  q = p + 2,  то  p^q + q^p  делится на  p + q.

Решение

p^q + q^p = (p^p+2 – p^p) + (p^p + q^p) = p^p(p – 1)(p + 1) + (p^p + q^p).  Первое слагаемое делится на  p + q = 2(p + 1),  так как число  p – 1  чётно, а второе слагаемое делится на  p + q,  так как число p нечётно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	31
Год	1968
вариант
	1
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	5