ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78661
Темы:    [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Объединение, пересечение и разность множеств ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В коридоре длиной 100 метров постелено 20 ковровых дорожек общей длины 1000 метров. Каково может быть наибольшее число незастеленных кусков (ширина дорожки равна ширине коридора)?

Решение

Сначала приведём пример: возьмём одиннадцать дорожек по 90.5 метров и остальные девять дорожек по 0.5 метра. Расположение дорожек показано на рисунке (все дорожки длины 90.5 метров лежат на одном и том же месте).

Здесь должен быть рисунок.    

Покажем, что большего количества незастеленных кусков достичь нельзя. Заметим сначала, что разность числа незастеленных кусков и числа застеленных кусков по модулю не превосходит единицы. Следовательно, достаточно доказать, что застеленных кусков не может быть больше десяти. Для каждого застеленного куска найдём число ковровых дорожек, использованных в этом куске. Обозначим максимальное из полученных чисел через N. Тогда число застеленных кусков не превосходит  1 + (20 - N) = 21 - N. Таким образом, осталось доказать, что N$ \ge$11. Докажем для этого, что найдётся точка, покрытая не менее, чем одиннадцатью дорожками. Допустим, что каждая точка покрыта не более, чем десятью дорожками. Так как общая длина дорожек ровно в десять раз больше длины коридора, то весь коридор покрыт, а значит, незастеленных кусков нет, и этот случай нас не интересует. Итак, нашлась точка, покрытая не менее, чем одиннадцатью дорожками. Следовательно, в соответствующем застеленном куске использовано не менее одинадцати дорожек, откуда N$ \ge$11.

Ответ

11 кусков.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 31
Год 1968
вариант
1
Класс 9
Тур 1
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .