Информация о задаче

Задача 78659

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Площадь трапеции	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Существует ли четырёхугольник ABCD площади 1 такой, что для любой точки O внутри него площадь хотя бы одного из треугольников OAB, OBC, OCD, DOA иррациональна.

Решение

Подходит, например, любая трапеция площади 1 с основаниями BC = 1 и AD = $\sqrt[3]{2}$ . Действительно, высота такой трапеции равна ${\frac{2}{1+\sqrt[3]{2}}}$ . Допустим, что для некоторой точки O площади треугольников AOD и BOC рациональны. Тогда высоты этих треугольников, опущенные из точки O, равны $\alpha$ и ${\frac{\beta}{\sqrt[3]{2}}}$ , где $\alpha$ и $\beta$ — рациональные числа. Следовательно, $\alpha$ + ${\frac{\beta}{\sqrt[3]2}}$ = ${\frac{2}{1+\sqrt[3]{2}}}$ . Но тогда число $\sqrt[3]{2}$ является корнем квадратного уравнения $\alpha$ x² + ( $\beta$ + $\alpha$ - 2)x + $\beta$ = 0. Докажем, что число $\sqrt[3]{2}$ не является корнем никакого квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 с рациональными коэффициентами, не все коэффициенты которого равны нулю. Если a = 0, то $\sqrt[3]{2}$ = - c/b $\in$ $\mathbb {Q}$ , что неверно. Если же a $\ne$ 0, то в этом случае $\sqrt[3]{2}$ = ${\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}}$ , D $\ge$ 0. Возводя обе части равенства в куб и приравнивая коэффициенты при $\sqrt{D}$ , получаем, что 3b² + D = 0. Так как D $\ge$ 0, то b = D = 0, а значит, b = c = 0, что также неверно. Таким образом, число $\sqrt[3]{2}$ не является корнем квадратного уравнения с рациональными коэффициентами, из которых не все равны нулю. Следовательно, для приведённой трапеции площадь хотя бы одного из треугольников AOD и BOC всегда иррациональна.
Замечание. На самом деле подходит любой четырёхугольник из некоторого остаточного множества (то есть из пересечения счётного числа открытых всюду плотных множеств). Действительно, существование точки O внутри четырёхугольника ABCD, для которой площади треугольников AOB, BOC, COD и AOD равны числам $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ и $\delta$ соответственно,— это некоторое уравнение на углы четырёхугольника. Так как это уравнение выполнено не для всех четырёхугольников, то четырёхугольники, для которых такой точки не существует, образуют открытое всюду плотное подмножество в множестве всех четырёхугольников. Осталось заметить, что множество рациональных чисел счётно, а значит, и множество четвёрок натуральных чисел также счётно.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	31
Год	1968
вариант
	1
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	1