ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78655
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны числа: 4, 14, 24, ..., 94, 104. Докажите, что из них нельзя вычеркнуть сперва одно число, затем из оставшихся ещё два, затем ещё три и, наконец, ещё четыре числа так, чтобы после каждого вычёркивания сумма оставшихся чисел делилась на 11.


Решение

Всего дано 11 чисел, а нужно вычеркнуть 10 чисел. Поэтому в конце должно остаться одно число, кратное 11, то есть число 44. С другой стороны, число 44 мы должны вычеркнуть самым первым. Действительно, сумма всех данных чисел равна  11·108 : 2,  поэтому она делится на 11. Следовательно, если после вычёркивания одного числа сумма оставшихся чисел делится на 11, то вычеркнутое число тоже делится на 11.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 31
Год 1968
вариант
1
Класс 8
Тур 1
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .