ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78654
Тема:    [ Обратный ход ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В шахматном турнире участвовало 12 человек. После окончания турнира каждый участник составил 12 списков. В первый список входит только он сам, во второй -- он и те, у кого он выиграл, в третий — все люди из второго списка и те, у кого они выиграли, и т.д. В 12 список входят все люди из одиннадцатого списка и те, у кого они выиграли. Известно, что для любого участника турнира в его двенадцатый список попал человек, которого не было в его одиннадцатом списке. Сколько ничейных партий было сыграно в турнире?

Решение

Ответ: 54. Если (k + 1)-й список такой же, как k-й, то списки с номерами k + 2, ..., 11, 12 тоже будут точно такими же. Но по условию 11-й список и 12-й разные. Следовательно, у каждого участника k-й список содержит ровно k человек. В частности, 2-й список содержит ровно двух человек. Это означает, что каждый участник выиграл ровно одну партию. Поэтому число ничьих равно $ {\frac{12\cdot 11}{2}}$ - 12 = 54.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 31
Год 1968
вариант
1
Класс 8
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .