ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78650
Темы:    [ Деление с остатком ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Число 4 обладает тем свойством, что при делении его на q² остаток получается меньше q²/2, каково бы ни было q.
Перечислить все числа, обладающие этим свойством.


Решение

  Докажем сначала, что если n – натуральное число, отличное от 1 и 4, то  n < []².  Действительно, для чисел  n ≤ 7  это утверждение легко проверяется, а если  n ≥ 8,  то  n² ≥ 8n,  поэтому  n ≥ 2,  а значит,  []² ≥ ( – 1)² = 2n – 2 + 1 > n.
  Пусть n – натуральное число, отличное от 1 и 4. Положим  q = [].  Тогда  n < q²,  поэтому остаток от деления n на q² равен n. Но  q = [] ≤ ,  поэтому  n² ≥ q/2.


Ответ

1 и 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 31
Год 1968
вариант
1
Класс 7
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .