Условие
Семь школьников решили за воскресенье обойти семь кинотеатров. Во всех них
сеансы начинаются в 9.00, 10.40, 12.20, 14.00, 15.40, 17.20, 19.00
и 20.40 (8 сеансов). На каждый сеанс шестеро шли вместе, а кто-нибудь один
(не обязательно один и тот же) шел в другой кинотеатр. К вечеру каждый побывал
в каждом кинотеатре. Докажите, что в каждом кинотеатре был сеанс, на котором не
был ни один из этих школьников.
Решение
Предположим противное. Пусть в некотором кинотеатре на каждом сеансе кто-то
был. Тогда во время каждого сеанса одна из групп (один человек или шесть
человек) сидела в этом кинотеатре, а другая группа — в одном из оставшихся.
Таким образом, всего в других кинотеатрах они посетили не более восьми
сеансов. С другой стороны, в каждом из кинотеатров группа школьников должна
побывать не менее двух раз (так как за один раз все школьники посетить
кинотеатр не могут, а каждый школьник посетил в каждом кинотеатре хотя бы один
сеанс). Следовательно, общее число посещений других кинотеатров не меньше,
чем
6
. 2 = 12. Полученное противоречие доказывает, что предположение
неверно, а значит, в каждом кинотеатре был сеанс, на котором не побывал
ни один из этих школьников.
Источники и прецеденты использования
