|
|
 |
Условие
Найти все такие двузначные числа , что при умножении на некоторое целое число получается число, предпоследняя цифра которого – 5.
Решение
Заметим сначала, что числа, кратные 20, не подходят. Действительно,
после умножения на любое целое число мы получим число, кратное 20. Следовательно, последняя цифра этого числа будет нулём, а предпоследняя чётна.
Докажем, что для любого числа N, не кратного 20, существует число, при умножении N на которое получается число, предпоследняя
цифра которого равна 5.
Лемма. Пусть d = НОД(m, n). Тогда множество остатков чисел вида kn от деления на m есть множество остатков, кратных d.
Доказательство. Согласно задаче 60488 б) d = am + bn для некоторых целых a и b. Умножив обе части равенства на l, получим ld = alm + bnl, а значит,
число bnl даёт остаток ld при делении на m. С другой стороны, остатка, не кратного d, получиться не может.
Осталось рассмотреть различные значения d = НОД(100, N). Если число d равно одному из чисел 1, 2, 5, 10, 25, 50, то среди чисел вида Nk найдётся число, оканчивающееся на 50. Если же d = 4, то среди этих чисел встретится число 52.
Ответ
Все числа, не кратные 20.
