ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78581
Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что последние цифры чисел nn (n – натуральное) образуют периодическую последовательность.


Решение

Достаточно проверить, что последние цифры чисел  A = nn   и  B = (n + 20)n+20  совпадают. Согласно задаче 30374  n5n (mod 10).  Следовательно,
nk+4nk (mod 10)  и  (n + 20)n+20nn+20nn (mod 10).

Замечания

Периодически повторяется набор цифр  1, 4, 7, 6, 5, 6, 3, 6, 9, 0, 1, 6, 3, 6, 5, 6, 7, 4, 9, 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 28
Год 1965
вариант
1
Класс 11
Тур 2
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .