|
|
 |
Условие
Докажите следующий признак делимости на 37. Для того, чтобы узнать, делится ли число на 37, надо разбить его справа налево на группы по три цифры. Если сумма полученных трёхзначных чисел делится на 37, то и данное число делится на 37. (Слово "трёхзначные" употреблено условно: некоторые из групп могут начинаться с нулей и быть на самом деле двузначными или меньше; не трёхзначной будет и самая левая группа, если количество цифр нашего числа не кратно 3.)
Решение
Докажем, что полученная в условии сумма S даёт тот же остаток при делении на 37, что и исходное число n. Так как число 999 делится на 37,
достаточно доказать, что числа S и n дают одинаковый остаток при делении на 999. Дальнейшее доказательство аналогично доказательству признака
делимости на 9:
n – S = ak...a0 – S = ... + a3r+2a3r+1a3r·103r + ... + a2a1a0 – S = ... + a3r+2a3r+1a3r·(103r – 1) + ... + a5a4a3·999 + a2a1a0·0. Каждое слагаемое в этой сумме делится на 999, а значит, вся сумма делится на 999. Следовательно, числа n и S дают одинаковый остаток при делении на 999.
