Задача 78536

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Многоугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Внутри равностороннего (не обязательно правильного) семиугольника A₁A₂...A₇ взята произвольно точка O. Обозначим через H₁, H₂,..., H₇ основания перпендикуляров, опущенных из точки O на стороны A₁A₂, A₂A₃,..., A₇A₁ соответственно. Известно, что точки H₁, H₂,..., H₇ лежат на самих сторонах, а не на их продолжениях. Доказать, что A₁H₁ + A₂H₂ + ... + A₇H₇ = H₁A₂ + H₂A₃ + ... + H₇A₁.

Решение

Пусть без ограничения общности сторона семиугольника равна 1. Пусть x_i=A_iH_i , h_i=OH_i , будем считать A₈=A₁ , H₈=H₁ . По теореме Пифагора A_i+1H_i²+OH_i²=OA_i+1²=A_i+1H_i+1²+OH_i+1² , то есть 1-2x_i+x_i²+h_i²=x_i+1²+h_i+1² . Складывая такие равенства для каждого i=1,..7 , получаем 7-2(x₁+..x₇)=0 . Это как раз означает, что A₁H₁ + A₂H₂ + ... + A₇H₇ = H₁A₂ + H₂A₃ + ... + H₇A₁ .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	27
Год	1964
вариант
	1
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	1
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	27
Год	1964
вариант
	1
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	4