Условие
В квадрате со стороной длины 1 выбрано 102 точки, из которых никакие три не
лежат на одной прямой. Доказать, что найдётся треугольник с вершинами в этих
точках, площадь которого меньше, чем 1/100.
Решение
Рассмотрим наименьший выпуклый многоугольник, содержащий данные точки. Пусть
он имеет
k вершин. Разрежем его диагоналями, выходящими из одной точки, на
k - 2 треугольника. Возьмём одну из оставшихся точек и соединим её с
вершинами того треугольника, в котором она лежит. Так последовательно будем
поступать со всеми оставшимися точками. При каждом разрезании треугольника
общее число треугольников увеличивается на 2, поэтому общее число
треугольников не меньше 100. Сумма их площадей меньше 1, поэтому площадь хотя
бы одного из треугольников меньше 1/100.
Источники и прецеденты использования
