ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78498
Темы:    [ Площадь треугольника (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Псевдоскалярное произведение ]
[ Формулы для площади треугольника ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан произвольный треугольник ABC и точка X вне его. AM, BN, CQ — медианы треугольника ABC. Доказать, что площадь одного из треугольников XAM, XBN, XCQ равна сумме площадей двух других.

Решение

Пусть a, b, c, x – векторы, идущие из точки пересечения медиан треугольника ABC в точки A, B, C и X соответственно. Тогда ориентированные площади треугольников XAM, XBN и XCQ равны проекциям векторных произведений [a-x,a-(b+c)/2]/2 [b-x,b-(a+c)/2]/2 и [c-x,c-(b+a)/2]/2 соответственно на перпендикуляр к плоскости треугольника. Из равенства a+b+c=0 легко получаем, что сумма этих трех проекций равна нулю. Значит, сумма ориентированных площадей наших треугольников также равна нулю. Значит, сумма модулей каких-то двух площадей равна модулю третьей.

Замечание. Условие, что X лежит вне треугольника ABC – лишнее.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 26
Год 1963
вариант
1
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .