ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78490
Темы:    [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан произвольный треугольник ABC и такая прямая l, пересекающая треугольник, что расстояние от неё до точки A равно сумме расстояний до этой прямой от точек B и C (причем B и C лежат по одну сторону от l). Доказать, что все такие прямые проходят через одну точку.

Решение

Пусть l — данная прямая. Рассмотрим проекцию на прямую l', перпендикулярную l. Прямая l при этой проекции переходит в точку O, для которой $ \overrightarrow{OA'_1}$ + $ \overrightarrow{OB'_1}$ + $ \overrightarrow{OC'_1}$ = $ \overrightarrow{0}$, где A', B' и C' — проекции вершин треугольника. Если M — точка пересечения медиан треугольника ABC, а M' — её проекция, то $ \overrightarrow{M'A'}$ + $ \overrightarrow{M'B'}$ + $ \overrightarrow{M'C'}$ = $ \overrightarrow{0}$, поэтому M' = 0. Это означает, что прямая l проходит через точку M.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 26
Год 1963
вариант
1
Класс 7
Тур 2
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .