Задача 78262

Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Описанные четырехугольники ] [ Средняя линия трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

С центрами в вершинах прямоугольника построены четыре окружности с радиусами r₁, r₂, r₃, r₄, причём r₁ + r₃ = r₂ + r₄ < d; d — диагональ прямоугольника. Проводятся две пары внешних касательных к окружностям 1, 3 и 2, 4. Доказать, что в четырёхугольник, образованный этими четырьмя прямыми, можно вписать окружность.

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей. Возьмём внешнюю касательную к окружностям 1 и 3 и опустим на неё перпендикуляры из точки O и из центров окружностей 1 и 3. В результате получим трапецию, в которой проведена средняя линия. Длина этой средней линии равна . Аналогичные рассуждения показывают, что расстояния от точки O до всех четырёх проведённых внешних касательных равны, поэтому O — центр вписанной окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	24
Год	1961
вариант
	1
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	2