Условие
Даны отрезки
AB,
CD и точка
O. Конец отрезка называется
"отмеченным", если прямая, проходящая через него и точку
O, не
пересекает другой отрезок. Сколько может быть отмеченных концов?
Решение
Проведём прямые
OA и
OВ и заштрихуем угол
AOB (т. е. тот угол, в
котором расположен отрезок
AB) и вертикальный с ним.
Ясно, что точка С (или
D) будет отмечена, если она не лежит в
заштрихованных углах, и не будет отмечена, если она лежит в одном из
заштрихованных углов.
Могут представиться следующие возможности:
- Отрезок CD не пересекает ни одной из прямых OA, OB.
В этом случае обе точки A, В являются отмеченными. Точки же
С и D лежат обе в одном и том же из четырёх углов,
определяемых прямыми OA и OB, т. е. либо обе являются
отмеченными, либо обе не являются отмеченными. Итак, в рассматриваемом случае отмечены либо 2,
либо 4 точки.
- Отрезок CD пересекает только одну из прямых OA, OB,
т. е. только одна из точек A, В является отмеченной. Точки же
С и D лежат в двух смежных углах, определяемых прямыми OA,
OВ, т. е. одна лежит в заштрихованном углу, а
другая — в незаштрихованном; следовательно, только одна из точек
С, D является отмеченной. Итак, в рассматриваемом случае
отмечены 2 точки.
- Отрезок CD пересекает обе прямые OA, OB,
т. е. ни одна из точек A, B не является отмеченной. Точки С
и D лежат в этом случае в двух вертикальных углах, т. е. либо
обе отмечены , либо ни одна из них не отмечена. Итак, в рассматриваемом случае либо 2 точки
отмечены, либо ни одна не отмечена.
Сопоставляя все возможности, мы видим, что могут быть отмеченными
0, 2 или 4 точки.
Источники и прецеденты использования
