|
|
 |
Условие
В турнире каждый шахматист половину всех очков набрал во встречах с участниками, занявшими три последних места.
Сколько всего человек принимало участие в турнире?
Решение
Будем для краткости называть игроков, занявших последние три места, плохими, а всех остальных – хорошими. Плохие игроки сыграли между собой три партии, и в этих партиях было набрано в общей сложности три очка. По условию, это – половина всех очков, набранных плохими игроками; значит, в играх с хорошими плохие игроки набрали ещё 3 очка. Но всего между плохими и хорошими игроками было сыграно 3(n – 3) партий и разыграно столько же очков (n – общее число игроков). Из них 3 очка взяли плохие игроки, а остальные очки – хорошие. Следовательно, в партиях с плохими игроками хорошие игроки завоевали 3(n – 3) – 3 = 3(n – 4) очков, и, значит, столько же очков хорошие игроки набрали (в общей сложности) в играх друг с другом. Между хорошими игроками было проведено ½ (n – 3)(n – 4) партий и разыграно столько же очков. Следовательно, (n – 3)(n – 4) = 6(n – 4), откуда n = 4 или n = 9. Первый вариант должен быть исключён, так как в этом случае единственный хороший игрок набрал бы 0 очков, то есть не был бы первым. Остаётся одно решение: n = 9.
Для девяти игроков такое могло случиться: пример соответствующей турнирной таблицы приведён ниже.
Ответ
9 человек.
