Задача 78205

Тема:    [ Три окружности одного радиуса ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

3 равные окружности с центрами O₁, O₂, O₃ пересекаются в данной точке. A₁, A₂, A₃ — остальные точки пересечения. Доказать, что треугольники O₁O₂O₃ и A₁A₂A₃ равны.

Решение

Пусть K — общая точка всех трёх окружностей. Так как окружности по условию равны, то KA₁ есть перпендикуляр, проведённый через середину M₁ отрезка O₂O₃; далее KA₂ — перпендикуляр, проведённый через середину М₂ отрезка O₁O₃, и KA₃ — перпендикуляр, проведённый через середину М₃ отрезка O₁O₂. Точки M₁, M₂ и M₃ являются также серединами отрезков KA₁, KA₂, KA₃. В треугольниках КA₂A₃ и O₁O₂O₃ отрезок M₂M₃ является средней линией и, следовательно,

O₂O₃ = 2M₂M₃ = A₂A₃.

Аналогично,

O1O3	= 2M1M3 = A1A3,
O1O2	= 2M1M2 = A1A2.

Отсюда и следует требуемое равенство треугольников:

A₁A₂A₃ = O₁O₂O₃.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	23
Год	1960
вариант
	1
Класс	7
Тур	1
задача
Номер	2