ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78195
Тема:    [ Алгебраические неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны сто чисел x1, x2,..., x100, сумма которых равна 1. При этом абсолютные величины разностей  xk+1xk  меньше 1/50 каждая.
Доказать, что из них можно выбрать 50 чисел так, чтобы сумма выбранных отличалась от половины не больше, чем на одну сотую.


Решение

  Без ограничения общности можно считать, что  x1 + x3 + ... + x99 ≥ ½ ≥ x2 + x4 + ... + x100.  Будем менять в наборах x2i–1 с x2i, начиная с   i = 1,  пока знак неравенства не изменится. Такое когда-нибудь произойдёт, поскольку в конце концов наборы поменяются местами. Пусть k таково, что знак неравенства изменился после замены x2k–1 на x2k  (1 ≤ k ≤ 50). Поскольку сумма правой и левой частей равна единице, то
sk = x2 + x4 + ... + x2(k–1) + x2k–1 + x2k+1 + ... + x99 ≥ ½,  но  sk+1 = x2 + x4 + ... + x2(k–1) + x2k + x2k+1 + ... + x99 ≤ ½.
  По условию  |x2k–1x2k| < 1/50,  из этого получаем, что  |sk+1 – ½| + |sk – ½| = |sk+1sk| = |x2kx2k–1| < 1/50,  следовательно, либо  |sk+1 – ½|,  либо  |sk – ½|  меньше 1/100, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 22
Год 1959
вариант
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .